Алексей Бурнашов родился в 1973 году в Перми. После школы поступил в профессиональное училище по специальности «Электромонтажник по силовым сетям и электрооборудованию». Потом работал на предприятии своего отца директором по стратегическому планированию рынка, председателем совета директоров ОАО «Пермский домостроительный комбинат».
Бурнашов избирался депутатом гордумы Перми, Законодательного собрания Пермского края.
В 2016 году был избран в Госдуму по № 59 одномандатному избирательному округу. В Госдуме вошел во фракцию единороссов, работает в комитете по экономической политике, промышленности, инновационному развитию и предпринимательству.
Едва избравшись в Госдуму, Бурнашов мог мандат потерять. Причина - правозащитница Ирины Волынец озвучила информацию о владении Бурнашовым долей в коммерческой компании в Чехии. Ранее за подобные нарушения лишили мандата депутата Геннадия Гудкова, справедливоросса, который участвовал в протестных акциях. Однако Бурнашову удалось сохранить мандат.
За 2017 год депутат Бурнашов заработал 4, 3 миллиона рублей. У него есть квартира площадью 166,2 кв. м (выделена ему на срок полномочий депутата Госдумы) и еще квартира в безвозмездном пользовании площадью 74,10 кв.м.
