Выпускник физфак МГУ 1948 года, он всю жизнь в России работал в московских физинститутах.
Совместно с физиком-экспериментатором Николаем Заварицким Абрикосов обнаружил при проверке теории Гинзбурга сверхпроводники II рода. Этот новый тип сверхпроводников сохраняет свои свойства даже в присутствии сильного магнитного поля. Ученый смог объяснить такие свойства образованием регулярной решётки магнитных линий, которые окружены кольцевыми токами. Такая структура называется теперь «вихревой решёткой Абрикосова».
Совместно с Н. Б. Брантом, Е. А. Свистовой и С. М. Чудиновым Абрикосов сделал научное открытие «Явление фазовых переходов вещества в магнитном поле».
В 1991 году по приглашению Аргоннской национальной лаборатории в Иллинойсе ученый эмигрировал в США, где после преподавал в двух университетах.
В Аргонской национальной лаборатории Абрикосов смог объяснить большинство свойств высокотемпературных сверхпроводников на основе купрата и установил в 1998 году эффект линейного квантового магнитного сопротивления, который был впервые измерен ещё в 1928 году П. Капицей, но никогда не рассматривался в качестве самостоятельного эффекта.
В 1999 году Абрикосов получил американское гражданство. Он был членом различных научных учреждений, в том числе Национальной академии наук США, Российской академии наук, Лондонского королевского общества.
В 2003 году Абрикосов получил Нобелевскую премию по физике за «основополагающие работы по теории сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей». Тогда он признался: «в России, когда я там был, натерпелся достаточно. Поэтому горжусь тем, что эта премия остается за Америкой».
Ученый был трижды женат, воспитал двоих сыновей и дочь.
Умер он 29 марта 2017 года спустя год после обширного инфаркта.
